Progresii aritmetice și geometrice

O  progresie aritmetică  este un șir de numere unde diferența dintre elemente este constantă. 

Dacă rația este mai mare ca 0 atunci progresia este crescătoare, iar dacă este mai mică decât 0 avem o progresie descrescătoare. 

De exemplu b_n = {5,3,1,−1,…}  este descrescătoare pentru că rația este −2. 

Pentru a defini o progresie aritmetica avem nevoie de primul terment si ratia ei.

Dacă avem o progresie (a_n) n≥1  și vrem să aflăm un termen oarecare a_n dar nu știm termenul precedent lui  a_n−1  putem folosi o formulă nouă prin care putem afla orice număr dintr-o progresie. 

Formula termenului general: 

a_n = a₁+(n−1)⋅r 

Folosind această formulă putem afla orice termen dintr-o progresie aritmetică atât timp cât știm primul termen și rația. 

Progresia aritmetică (an) este definită de formula: 

a_n = a₁+(n−1)r 

Suma primilor n termeni dintr-o progresie aritmetica 

Bottom of Form 

Pentru a afla suma primilor n termeni dintr-o progresie aritmetica putem folosi formula: 

S_n = 𝑎1 + 𝑎𝑛2∙𝑛a1 + an2∙n

Așadar avem n numarul de termeni in suma, inmultit cu media aritmetica dintre primul si ultimul termen din suma. 

Folosind formula termenului general an = a1+(n−1)⋅r  putem inlocui  an  in aceasta formula si va rezulta: 

S_n = n⋅𝟐⋅𝒂𝟏+(𝒏−𝟏)⋅𝒓𝟐𝟐⋅𝒂𝟏+(𝒏−𝟏)⋅𝒓𝟐

Aceasta formula depinde doar de primul termen si de ratie, ceea ce e posibil sa stim deja despre o progresie, si de aceea o face mai usor de folosit.Bottom of Form 

Încălzirea prin probleme simple: 

1. Să se determine numărul natural x din egalitatea 1+5+9+…+x = 231 

2. Să se determine număriș natural x pentru care 1+3+5+…+x = 225 

3. Fie a_n o progresie aritmetică. Știind ca a₃ + a₁₈ = 12, să se calculeze a₅ + a₁₇. 

PROGRESIE GEOMETRICĂ 

O progresie geometrica este un sir unde trebuie sa  inmultim același număr când trecem de la un element la altul. 

Numarul poarta denumirea de rație si se noteaza cu q. 

Intr-o progresie aritmetica trebuia sa adunam acelasi numar, aici trebuie sa inmultim. 

Exemplu: progresie geometrica  b_n={3,6,12,24,…} 

Vedem ca pentru a obtine  b₂=6  vom luam  b₁  si il vom inmulti cu  2. Așa că în acest caz, rația  q=2. 

Pentru a scrie o formulă mai generală, orice termen dintr-o progresie geometrica este egal cu: 

b_n = b₁ ⋅ q^n-1 

La fel ca in cazul unei progresii aritmetice, si pentru o progresie geometrica putem afla un termen in functie de cel precendent: 

b_n = b_n-1 ⋅ b_n+1 

Aceasta metodă se numește  recursivă, pentru că depinde de termenul de dinaintea celui pe care vrem să-l aflăm. 

Pentru a calcula suma primilor n termeni dintr-o progresie geometrica bn, putem folosi formula: 

Sper că ți-a fost de ajutor, iar dacă vrei să te pregătești în detaliu la matematică nu ezita să folosești profesorii noștri de top de pe https://meditatii.ro/matematica/online.

Meditatii matematica pentru toate nivelurile, de la scoala primara, gimnaziu, liceu, admitere, facultate, master sau doctorat in locatii din Romania. Meditatii Matematica in Bucuresti sau Meditatii Matematica Bacalaureat pe Meditatii.ro