Termenul de multime este atat de general incat nu putem spune ca are o definitie anume.
Ceea ce stim noi ca defineste o multime (o grupare de elemente) este exact ce se foloseste si in matematica.
Numai ca in matematica mai avem doua conditii care ne ajuta sa clarificam daca ceva este o multime sau nu:
Daca putem spune cu siguranta ca un element face parte dintr-o multime sau nu.
De exemplu, ultimele trei masini lansate de compania Tesla. Este o lista usor de realizat, intr-un mod obiectiv.
Dar multimea celor mai frumoase 3 masini electrice, nu poate fi definita drept o multime, pentru ca nu putem alege obiectiv trei modele.
Un element nu trebuie sa se repete in cadrul multimii.
De exemplu, daca avem numarul: 2.254.342.288, atunci multimea cifrelor ce alcatuiesc acest numar va fi: {2,3,4,5,8}. Un element intr-o multime nu trebuie sa se repete.
Pentru a nota o multime vom folosi parantezele acolade: {…}, iar elementele multimii vor fi scrise separate prin virgula.
De exemplu: {1,2,3}, {alb, negru}, etc.
In general, multimile pot fi impartite in doua categorii: finite si infinite.
Multimile finite sunt cele carora le putem numara elementele: orasele tarii, oceanele planetei, oamenii de pe glob, etc.
Multimile infinite sunt cele care nu sunt finite, multimea numerelor naturale de exemplu.
Avem si posibilitatea de a efectua cateva operatii intre doua multimi. Cele mai importante sunt:
Intersectia
Intersectia a doua multimi reprezinta operatia de a gasi elementele ce se gasesc in ambele multimi si se noteaza cu semnul ∩
De exemplu daca avem o multime X={2,4,6,7,8} si Y={2,3,4,5,6} atunci X∩Y={2,4,6}
Reuniunea
Este operatia de a crea o multime noua folosind elementele din ambele multimi dar scriind elementele care se repeta o singura data. Se noteaza cu semnul ∪
Daca folosim multimile de mai devreme, atunci X∪Y={2,3,4,5,6,7,8}.
Desi {2,4,6} se afla in ambele multimi, ele apar o singura data in reuniunea lor.
Diferenta
Diferenta dintre doua multimi este operatia de a scoate elementele dintr-o multime ce se afla in a doua.
De exemplu, daca folosim aceleasi multimi X={2,4,6,7,8} si Y={2,3,4,5,6}, atunci X−Y={7,8}.
Putem observa ca elementele care se afla in a doua multime dar nu in prima, nu influenteaza cu nimic procesul.
Desi Y are elementul 3 acesta nu poate fi scos din X pentru ca ea nu are acest element. De aceea este mai bine sa ne gandim la aceasta diferenta drept la un filtru.
Aceasta operatie mai poate fi scris si drep t X\Y.
Mulțimea vidă
Atunci cand vom face operatii intre multimi cu siguranta vom intalni cazul cand multimea ce rezulta este goala.
Aceasta se numeste multimea vida si se noteazaa cu ∅
De exemplu, avem multimea A={2,4,6} si multimea B={1,3,5}.
Cele doua multimi nu au nici un termen in comun, asa ca din intersectia lor va rezulta multimea vida: A∩B=∅
Nu putem gandi la multimea vida drept la numarul 0 din aritmetica.
Sa spunem ca avem o multime de numere A={1,2,3,4,5,6,7,8,9} si o multime B={1,2,3}.
Vedem ca toate elementele lui B se regasesc in A.
Aceasta inseamna ca B este o submultime a lui A.
Notam acest lucru folosind semnul ⊂ si spunem ca multimea B este inclusa in multimea A.
In aceasta lectie vom lua cateva exemple cu operatii cu multimi si in acelasi timp vom vorbi si despre proprietatile lor, precum ordinea in care se efectueaza.
Ordinea operatiilor
In general ordinea operatiilor cu multimi nu conteaza, dar sunt si cazuri unde este foarte importanta.
De exemplu, in cazul intersectiei sau reuniunii, ordinea multimilor nu conteaza.
A∩B este acelasi lucru cu B∩A.
Sau A∪B este la fel cu B∪A.
Ordinea conteaza cand vorbim de diferenta dintre doua multimi:
A\B ≠ B\A
Multimea ce rezulta din A\B este alta fata de multimea B\A.
Complementul unei mulțimi
Dacă avem mulțimea A atunci complementul ei reprezinta toate elementele care nu sunt in A. Aceasta se noteaza cu A’.
Cand spunem toate elementele, ne referim la toate elementele. In matematica exista multimea U care cuprinde toate lucrurile din univers.
Asa ca daca avem A={2,4} atunci A’ reprezinta multimea tuturor lucrurilor din univers care nu sunt 2 si 4. Aceasta multime se numeste complementul absolut.
Dar exista si conceptul de complement relativ. Atunci cand vrem sa aflam toate elementele care nu se afla in A dar se afla in alta multime, precum B.
Noi am vorbit despre aceasta multime pentru ca este cea ce rezulta din operatia B\A.
De exemplu, daca B={1,2,3,4,5} atunci complementul lui A relativ la B sunt toate elementele din B care nu sunt in A, adica B\A.
Care in acest caz inseamna {1,3,5}.
Ce treabă are logica în asta?
E ca atunci când te cerți cu cineva. Unul din voi, in majoritatea cazurilor, are dreptate, iar celălalt nu. La fel e și în matematică, dar și alte materii. Uite, propoziția este un enunț ce poate fi adevărat sau fals. Proprietatea unei propoziții p de a fi ADEVĂRATĂ sau FALSĂ se numește VALOARE DE ADEVĂR – v(p).
OBS. Dacă propoziția p este adevărată atunci v(p)=1, iar dacă propoziția p este falsă atunci v(p)=0.
NEGAȚIA propoziției p este propoziția non p ( non p este adevărată când p este falsă și falsă când p este adevărată).
DISJUCȚIA propozițiilor p,q este propoziția p sau q ( disjuncția este adevărată când cel puțin una din propoziții este adevărată).
CONJUNCȚIA propozițiilor p,q este propoziția p și q ( conjuncția este adevărată când ambele propoziții sunt adevărate).
IMPLICAȚIA propozițiilor p,q este propoziția p implică q ( implicația este falsă când p este adevărată și q este falsă, în rest este adevărată).
ECHIVALENȚA propozițiilor p,q este propoziția p echivalent cu q ( echivalența este adevărată când ambele propoziții au aceeași valoare de adevăr).
Ți-e mai ușor cu un exemplu? Andrei are 18 ani, Maria tot 18, iar acestea două sunt propozițiile noastre. Andrei nu e Maria (negație), Andrei e om sau femeie (disjuncție, el e cel puțin om, daca nu e femeie), Andrei e bărbat și om (conjuncție, el e și bărbat și om), etc.
Sper că ți-a fost de ajutor, iar dacă vrei să te pregătești în detaliu la matematică nu ezita să folosești profesorii noștri de top de pe https://meditatii.ro/matematica/online
